Ecuaciones diferenciales parciales (Poisson, Laplace, eq. De calor)
PDE resuelto por la transformada de Fourier y el método de separación de variables
Lo que aprenderás
Ecuaciones diferenciales parciales (Poisson, Laplace, eq. De calor)
- Cómo utilizar las transformadas de Fourier para abordar el problema de resolver PDE
- Transformadas de Fourier en una y múltiples dimensiones
- Método de separación de variables para resolver la ecuación de calor (con ejercicios)
- Método de separación de variables para resolver la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas y polares (con ejercicios)
- Cómo aplicar la Transformada de Fourier para resolver EDO de segundo orden también
- concepto de líneas de corriente
- Trucos matemáticos
Requisitos
- Cálculo (especialmente: derivadas, integrales)
- Cálculo multivariable (especialmente: el jacobiano, el laplaciano, etc.)
- Cálculo complejo (los conceptos básicos de las series de Fourier y los residuos podrían ayudar)
Descripción
La primera parte del curso tiene como objetivo mostrar cómo la Transformada de Fourier (FT) puede ser una herramienta poderosa para resolver Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE). La FT y su inversa (Transformada de Fourier Inversa, o simplemente IFT), se derivan del concepto de la serie de Fourier al inicio del curso, por lo que podría ser útil para el alumno conocer ya los fundamentos de dicha asignatura.
Cálculo y Cálculo Multivariable son un requisito previo necesario para el curso, especialmente los temas relacionados con el cálculo de derivadas e integrales, cómo calcular el gradiente, el laplaciano de una función, coordenadas esféricas, el cálculo del jacobiano, etc.
También podría ser útil tener algún conocimiento de los residuos utilizados en el cálculo complejo.
Actualización del curso (febrero de 2021): se ha añadido una segunda parte del curso, que introduce la ecuación de calor y la ecuación de Laplace (en coordenadas cartesianas y polares), y tiene como objetivo mostrar cómo resolver algunos ejercicios sobre el PDE paso a paso. Los ejercicios contienen diferentes condiciones de contorno y todos los pasos que conducen a la solución están motivados. El método que se utiliza en la segunda parte es el de Separación de Variables, que permite transformar la PDE en dos EDO's diferentes (ecuaciones diferenciales ordinarias). Esta segunda parte del curso es autónoma e independiente de la primera. Algunos conocimientos previos sobre las EDO podrían resultar muy útiles.
También se han agregado ejercicios sobre ecuaciones de calor no homogéneas, así como ejercicios sobre la ecuación de onda.
